数学学习 | 高中知识点解析与讲解 - 空间向量基本定理！（值得学习）

发布日期：2025-04-12 14:37    点击次数：81

 

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之前我们学习了空间向量的基本知识点、线性运算和数量积运算，为了保证学习效果，同学们要及时回顾，同学们还有哪些疑问也可以留言提出哦！

今天，我们将来学习一下空间向量基本定理相关的知识点，快看下去吧！

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空间向量基本定理定义首先我们先来了解一下空间向量基本定理的概念：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）使p=xa+yb+zc。

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空间向量基本定理证明根据下图，对于不共面的三个向量i，j，k，我们可以对空间向量基本定理进行简单的证明：

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图中的向量QP与向量k共线，因此我们可以得到唯一的实数z来使QP=zk；另外，根据平面向量基本定理，我们可以得到唯一的有序实数对（x，y），使向量OQ可以通过共面向量i和j进行表示，即OQ=xi+yj；同时，我们可以发现向量p与向量QP和向量OQ也在同一平面中，因此符合平面向量的加法平行四边形法则，由此我们可以得到p=OQ+QP=xi+yj+zk，这便是空间向量基本定理。由此我们可以发现，所有的空间向量都可以通过三个不共面的向量a，b，c进行表示，也就是说我们可以得到空间向量的集合表示为{p|p=xa+yb+zc，x，y，z∈R}。我们称{a，b，c}为空间的一个基底，而a，b，c可以被称为基向量，当这三个基向量两两垂直且长度为1时，它们组成的基底就被称为单位正交基底。空间中任意的三个不共面向量都可以构成空间的一个基底。

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空间向量的正交分解之前我们学习过平面向量的正交分解，也就是一个向量可以用两个同一平面的相互垂直的单位向量表示，那么在空间中，用三个两两垂直的单位向量对一个向量进行表示就是该空间向量的正交分解了。今天我们用到了平面向量基本定理，同学们如果忘记了的话，记得要复习一下，或者翻看之前的推文。

今天，我们学习了空间向量基本定理和正交分解，希望可以帮助同学们更好的进行高中数学学习哦！

同学们有任何不懂的内容可以留言提问，如果有需要的话我们会有习题类推文哦！

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